Titallsystemet og de fire regneartene

• Få forståelse av hvordan vi kan legge til rette for elevers forståelse av posisjonssystemet (titallsystemet), ved bl.a. å bruke ulike representasjoner
• Få forståelse av hvordan vi kan legge til rette for elevers forståelse av de fire regneartene, utvikling av ulike strategier og bruke ulike representasjoner for å støtte elevers begrepsforståelse

Refleksjon: 

Dersom du underviser i matematikk: 

Hvordan forklarer du posisjonssystemet til elevene dine? Hvordan arbeider du med ulike strategier for de fire regneartene sammen med elevene dine? 

Dersom du ikke underviser i matematikk: 

Hvordan jobber du med regning i ditt/dine fag? 

 

Se filmen om regning i alle fag fra Matematikksenteret sammen:

Etter filmen: Diskuter: Hva er regning og hva er matematikk? Hvorfor er denne modulen for alle og ikke bare for matematikklærere?

Aktivering av forarbeid

Kort muntlig runde i grupper: Hva vil du trekke fram av dine refleksjoner, hvordan jobber du med regning i fagene du underviser i?

 

 Innledning med kunnskapsgrunnlag

Posisjonssystem  

Vårt tallsystem er et titallsystem. Det er et posisjonssystem, eller plassverdisystem, med 10 som grunntall. Det betyr at hvert siffer har en verdi avhengig av på hvilken plass sifferet står. Plassene heter f.eks. titusener, tusener, hundrere, tiere og enere, og en tabell kan brukes i arbeid med posisjonssystemet. 

Titusener	Tusener	Hundrere	Tiere	Enere
3	6	8	2	1
	4	5	1	2
		1	5	3
			1	5

 

Eksempler: I tallet 4512 står sifferet 4 for verdien 4000, sifferet 5 står for verdien 500, sifferet 1 står for verdien 10, og sifferet 2 står for verdien 2. I tallet 153 står sifferet 5 for verdien 50, og i tallet 15 står sifferet 5 for verdien 5. 

En god forståelse av titallsystemet er et viktig grunnlag for forståelsen av de fire regneartene. 

 

Matematisk kompetanse 

En modell som er brukt for matematisk kompetanse er «trådmodellen» til Kilpatrick, Swafford og Findell (2001). Figuren under illustrerer at de fem komponentene er flettet sammen. Alle fem komponenter støtter hverandre, og elever bør utvikle alle fem samtidig. 

 

Resonnering: Kunne begrunne, forklare løsninger og framgangsmåter, argumentere, bevise, logisk tenkning

Anvendelse: Kunne formulere, representere og løse matematiske problemer

Forståelse: Forstå matematiske begreper og sammenhenger mellom ulike områder innenfor matematikken, forstå hvorfor prosedyrer «virker»

Engasjement: Se matematikk som meningsfull og verdifull, være motivert, ha tro på egen mestring

Beregning: Kunne utføre prosedyrer/algoritmer på en nøyaktig og effektiv måte. Være fleksibel i bruken av prosedyrer og kunne velge hensiktsmessig algoritme

 

Refleksjonsoppgave: Kan du knytte trådmodellen til ditt/dine fag?

 

«Regning i de ulike fagene kan forsterke elevenes matematiske kompetanse, samtidig som regning kan bidra til å utvikle elevenes kompetanse i fagene» (Matematikksenteret).

Matematikksenteret revidert bakgrunnsdokument

Når elever lærer de fire regneartene, jobber de blant annet med standardalgoritmer eller algoritmer. En algoritme er en prosedyre, eller «oppskrift» med flere steg som kan brukes for å løse et problem, f.eks. å komme fram til et svar i en utregning. Et eksempel på en løsning av et addisjonsstykke ved bruk av en algoritme er gitt under. Eksempelet er hentet fra Matematikksenteret, og dere skal møte eksempelet igjen senere.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Forståelse innebærer at elever forstår hvorfor algoritmer for de fire regneartene fungerer. For å oppnå denne forståelsen kan konkretiseringsmateriell og andre representasjoner være til hjelp.

 

Representasjoner

Elever har nytte av at det blir brukt ulike representasjoner i undervisningen, som for eksempel visuelle, konkrete, muntlige, skriftlige symbolske og kontekstuelle representasjoner.

I LK20 i matematikk er «Representasjon og kommunikasjon» et kjerneelement. Der står det blant annet: «Elevene må få mulighet til å forklare og begrunne valg av representasjonsform. Elevene må kunne oversette mellom matematiske representasjoner og dagligspråket og veksle mellom ulike representasjoner.»

 

Bruk av konkretiseringsmateriell og andre representasjoner

Når elevene skal lære å addere og subtrahere flersifrede tall, er det en forutsetning at de har en god forståelse av posisjonssystemet. En god forståelse av posisjonssystemet er også viktig for senere, når elevene skal arbeide med desimaltall.

Konkretiseringsmateriell som kan brukes omfatter:

• 10-basemateriell med små kuber for enere, staver for tiere (satt sammen av ti enere), plater for hundrere og store kuber for tusener (satt sammen av ti plater)
• Pinner
• Brikker
• Målebånd markert med meter og centimeter

Eksempel fra Matematikksenteret:

Hvordan kan elever bruke pinner og bunter av pinner til å forstå prinsippet bak standardalgoritmen for addisjon?

 

 

Dere kan lese mer om eksempelet, inkludert hele utregningen, i artikkelen under. I denne artikkelen kan dere også lese om ulike strategier og representasjoner for subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

Matematikksenteret – De fire regneartene

 

Oppgave:

Diskuter hvordan eksempelet over kan fullføres, dvs. hvordan kan pinner brukes til visualisering av addisjonsalgoritmen?

Diskuter i grupper (Her kan gjerne lærere i ulike fag grupperes sammen): Hvordan er det med representasjoner av tall i ditt fag? Gi eksempler.

 

Andre representasjoner

Tabeller, tallinje og hundrekartet er også viktige representasjoner i arbeid med posisjonssystemet og de fire regneartene.

Vi har møtt bruk av tabell for posisjonssystemet litt lenger oppe. I en slik tabell blir plassene til sifrene tydelige, det kan bl.a. bli synlig for elever at 0 er en plassholder, at f.eks. 1005, 105 og 15 er tre forskjellige tall.

 

Tusener	Hundrere	Tiere	Enere
1	0	0	5
	1	0	5
		1	5

 

 

 

 

 

 

Eksempel på arbeid med tom tallinje:

 

For å regne ut kan elever tenke at de starter med nærmeste tier, 30, og adderer 24. Da får de 54. Siden man startet med et tall som er 3 større enn 27, må man trekke fra 3, og da får man 51. Vi kan skrive det som et regnestykke: Her er formelen:

Eksempelet er hentet fra: Matematikksenteret – Barns strategier i arbeid med tall

Eksempel på multiplikasjon:

 

 

Hvor mange terninger vises det?

Noen vil tenke multiplikasjon som gjentatt addisjon:   eller

Etter hvert kan elever oppdage at det er enklere å kunne multiplikasjonstabellen.

Bildet over illustrerer at multiplikasjon kan representeres ved areal. Det vil hjelpe videre i multiplikasjon av desimaltall f.eks.

Eksempelet er hentet fra:

Matematikksenteret – De fire regneartene

 

Kartlegging og diagnostiske oppgaver

Diagnostiske oppgaver er laget slik at de skal avdekke misoppfatninger, dvs. en elev med en bestemt misoppfatning skal ikke kunne få rett svar på oppgaven. En misoppfatning er en feil som bygger på en konsekvent, feilaktig måte å tenke på.

Misoppfatninger angående posisjonssystemet kan for eksempel være knyttet til at eleven ikke forstår at verdien til et siffer bestemmes av plassen det har i tallet, eller at eleven ikke forstår at null kan bli brukt som plassholder.  En elev kan f.eks. tenke at 105 og 15 er samme tall, og at 307 og 37 er samme tall, fordi de har lært at «null er ingenting».

Oppgaver

Sitt i grupper (3-4 personer) og diskuter oppgavene under. Oppgavene er ment som forslag. Dere velger de oppgavene dere tenker er hensiktsmessige.

 

Oppgave 1

Representer tallet 563 på minst tre ulike måter.

• Som sum (utvidet form)
• Med konkreter, som f.eks. 10-basemateriell, staver, pinner, brikker
• Med en tegning / tabell

Etter at dere har gjort dette, diskuter:

• Hvilke representasjoner bruker dere mest i undervisning?
• Hvilke representasjoner kan hjelpe elever som strever?

 

Oppgave 2

Oppgave fra en diagnostisk kartlegging for 3. trinn:

 

 

Diskuter hvordan elever kan komme frem til rett svar.

• Hvilke representasjoner ville du bruke?
• Hvilke feilsvar vil du kunne forvente?
• Hvilken tenkning kan ligge bak feilsvarene?

 

Oppgave 3 (Ulike strategier for de fire regneartene)

Først individuelt:

• Skriv ned ulike strategier for å løse oppgavene i a)-d).
• Diskuter deretter de ulike strategiene i gruppen.

 

1.  
2.  
3.  
4.  

 

Hvordan kan dere bruke ulike representasjoner, som f.eks. tegning, konkretiseringsmateriell og tallinje?

 

Oppgave 4 (Oppgaver fra Alle Teller!)

Papirversjoner av kartleggingstester Alle Teller! kan lastes ned her:

https://www.matematikksenteret.no/node/6723

 

Nivå 4, Oppgave 15

Diskuter ulike løsningsmetoder elever kan bruke. Reflekter over hvilke utfordringer elever kan møte, og hvordan dere vil jobbe med elever for at de skal komme fram til rett svar på denne oppgaven eller liknende oppgaver.

 

 

 

Nivå 5, Oppgave 3

 

Hvilke representasjoner vil du bruke for at elever kan få en forståelse for hva som blir rett svar?

 

Oppgave 5

Diskuter: Addisjon og subtraksjon er motsatte regnearter, og multiplikasjon og divisjon er motsatte regnearter. Hvordan kan du jobbe med dette for at elever skal få dypere forståelse av de fire regneartene?

 

Dersom du underviser i matematikk:

Velg ett område innenfor posisjonssystemet og de fire regneartene (f.eks. vil addisjon være ett område). Lag et opplegg med kartlegging av elevers forståelse innenfor dette området, og gjennomfør opplegget.

Refleksjon etter gjennomført opplegg: Hva lærte du om elevenes forståelse innenfor området du valgte? Hvilke representasjoner vil du bruke for at elever kan utvikle dypere forståelse innenfor området?

Dersom du underviser i andre fag enn matematikk:

Hvilke kompetansemål og/eller temaer i ditt fag/dine fag kan knyttes til de fire regneartene? Lag et opplegg med regning i faget, og gjennomfør opplegget.

Refleksjon etter gjennomført opplegg: Hvordan opplevde du at elever utviklet matematisk forståelse mens de jobbet med opplegget?

Er det noen representasjoner som er mer naturlig å bruke i ditt/dine fag enn andre?

 

Når dere har jobbet med mellomarbeidet, reflekter over: Hvilke erfaringer har dere gjort dere? Er det noen misoppfatninger som kom fram i mellomarbeidet, som dere må jobbe videre med samme med elevene? Hvordan ønsker dere å bruke konkretiseringsmateriell videre? Hva er veien videre?

 

Vil du vite mer?

I denne artikkelen som finnes på Matematikksenterets sider, kan du lese mer om de fire regneartene, inkludert ulike strategier elever kan bruke:

Artikkel fra matematikksenteret

…